TEMA 7: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD: Conceptos básicos. Distribución y reglas básicas de la probabilidad. Teorema de Bayés. Distribución de probabilidad discreta: binomial y de Poisson. Distribución de probabilidad continua: normal o campana de Gauss.

La probabilidad es una herramienta que permite pasar de lo conocido a lo desconocido (hacer inferencias de lo que hemos observado) y tomar decisiones con el mínimo riesgo de equivocarse.

1.PROBABILIDAD SUBJETIVA O PERSONALÍSTICA

La probabilidad mide la confianza que el individuo tiene sobre la certeza de una proposición determinada. Este concepto de las probabilidades ha dado lugar al enfoque de análisis de datos estadísticos llamado “Estadística Bayesiana”.

2.PROBABILIDAD OBJETIVA

• Probabilidad clásica o "a priori":  Si un evento puede ocurrir de N formas, las cuales se excluyen mutuamente y son igualmente probables, y si m de esos eventos poseen una característica E, la probabilidad de ocurrencia de E es igual a m/N.

       Ley de los grandes números:

La probabilidad a priori de que salga un número en un dado es 1/6=0,166=16,6%.
Inicialmente esa probabilidad real puede no cumplirse, pero si repetimos muchas veces el experimento, la frecuencia relativa de un suceso A, cualquiera, tiende a estabilizarse en torno al valor “a priori”.

• Probabilidad relativa o "a posteriori": Si un suceso es repetido un gran número de veces, y si algún evento resultante, con la característica E, ocurre m veces, la frecuencia relativa de la ocurrencia E, m/n , es aproximadamente igual a la probabilidad de ocurrencia de E.

3. EVENTOS O SUCESOS 

- Cuando se realiza un experimento aleatorio, diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S) 

- Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados. Por ejemplo: las veces que sale la cara en la moneda 

- Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A y se denota Ac. Por ejemplo: todo lo que no es salir cara en la moneda, o por ejemplo yo llamo evento al número 6 del dado, cada vez que no salga 6 en el dado, será evento complementario. 

- Se llama evento unión de A y B, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo todos los que están en ambos) El evento A es ser mujer y el B es ser rubia: AUB sería la suma de ser mujer o la suma de ser rubia. 

- Se llama evento intersección de A y B, al formado por los elementos que están entre A y B. El evento A es ser mujer y el B es ser rubia: A intersección B sería la suma de ser mujer y la suma de ser rubia, es decir, poseer las dos características. 

PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES

4. REGLAS BÁSICAS: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

• Las probabilidades siempre oscilan entre 0 y 1 
• La probabilidad de un suceso contrario es igual a 1 menos la probabilidad del suceso – P (A´)= 1-P(A) 
• La probabilidad de un suceso imposible es 0 
• La unión de A y B es: – P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A П B) 
• La probabilidad condicionada de un suceso A a otro B se expresa:

5.  TEOREMA DE BAYES 

Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales el teorema de Bayes que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.

6. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EN VARIABLES DISCRETAS: BINOMUAL Y POISSON.

• Distribución binomial

La distribución binomial es un modelo matemático de distribución teórica de (la normal es con variables continuas) variables discretas.

• Distribución de Poisson

7. DISTRIBUCIONES NORMALES 

Tipificación de valores en una normal:

• Extrapolando aparecen los principios básicos de las distribuciones normales y podemos tipificar valores de una normal:

La tipificación de valores se puede realizar si… 

- Trabajamos con variables continuas que sigue una distribución normal y tiene más de 100 unidades (Ley de los Grandes Números) 

- La tipificación nos permite conocer si otro valor corresponde o no a esa distribución de frecuencia

Sabemos por la forma de la curva que:

- La media coincide con lo más alto de la campana: 8 

- La desviación típica es de 2 puntos 

• 50% tiene puntuaciones >8 porque la media coincide con la mediana y deja un 50 por arriba y otro por abajo.
• 50% tiene puntuaciones <8 - Aproximadamente el 68% puntúa entre 6 y 10 
• Media +/- 1 desviación típica: 68,26% 
• Media +/-2 desviación típica: 95% 
• Media +/-3 desviación típica: 99%’0